Question

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周...

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间； （2）若函数g（x）=f（x）-f（π4-x），求函数g（x）在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-π4）．
由于函数f（x）的最小正周期为T=2π2ω=π，故ω=1，即函数f（x）=2sin（2x-π4）．
（1）令2x-π4=kπ+π2（k∈Z），得x=kπ2+3π8（k∈Z），
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
令π2+2kπ≤2x-π4≤3π2+2kπ（k∈Z），得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ（k∈Z），
即函数f（x）的单调递减区间是[3π8+kπ，7π8+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（π4-x）=2sin（2x-π4）-2sin[2（π4-x）-π4]=22sin（2x-π4），
由于x∈[π8，3π4]，则0≤2x-π4≤5π4，
故当2x-π4=π2即x=3π8时函数g（x）取得最大值22，当2x-π4=5π4即x=3π4时函数g（x）取得最小值-2．