Question

设ABC是三角形ABC的三个内角，若向量m=（1-cos（A+B）），n=（5/8，cos(A+B)/2)且m.n=9/8

求证：tanA*tanB=1/9
求absinC/（a²+b²-c²）的最大值

Answer 1

m＝（1-cos（A＋B），cos (A-B)/2),n=(5/8,cos(A-B/2),mn=9/8
求证：tanA*tanB=1/9
求absinC/（a²+b²-c²）的最大值

【解】
mn=[1-cos（A＋B）]*[5/8]+ cos ²[(A-B)/2]
=5/8-5/8* cos(A＋B)+1/2*(1+cos(A-B))
=9/8-5/8* cos(A＋B) +1/2* cos(A-B)
=9/8-5/8*(cosAcosB-sinAsinB) +1/2*(cosAcosB+sinAsinB)
=9/8-1/8* cosAcosB+9/8* sinAsinB,
因为mn=9/8
所以-1/8* cosAcosB+9/8* sinAsinB=0，
1/8* cosAcosB=9/8* sinAsinB
tanA*tanB=1/9.

tan(A+B)=( tanA+tanB)/(1- tanA*tanB)
=( tanA+tanB)/(1- 1/9)
=9/8*( tanA+tanB)……利用基本不等式
≥9/8*2√(tanA*tanB)
=(9/8)*2*(1/3)=3/4.
即-tanC≥3/4. tanC≤-3/4.

根据余弦定理知：cosC=（a²+b²-c²）/(2ab),
则a²+b²-c²=(2ab) *cosC
所以absinC/（a²+b²-c²）
=absinC/[(2ab) *cosC]
=1/2* tanC≤-3/8.