Question

已知圆C（x+根号3）^2+y^2=16,点A（根号3，0）Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设M的轨迹方程为E

求E的方程。急！！
过点P（1，0）的直线L交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB的面积是4/5,求直线AB的方程

Answer 1

∵AQ的垂直平分线交CQ于点M
∴|MA|=|MQ|
∴|MA|+|MC|=|MQ|+|MC|=|CQ|=R=4
根据椭圆定义：平面上到两定点的距离之和为常值(2a)的点之轨迹
∴E为椭圆
2a=4，c=√3
∴b²=a²-c²=1
∴E：x²/4 + y²=1

追问

过点P（1，0）的直线L交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB的面积是4/5,求直线AB的方程

追答

①当L斜率不存在时，即L：x=1，S△AOB=√3/2，不满足
②当L斜率存在时，设L：y=k(x-1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)
联立直线、椭圆得：
(4k²+1)x²-8k²x+4k²-4=0
x1+x2=8k²/(4k²+1)，x1x2=(4k²-4)/(4k²+1)

y1-y2=k(x1-1)-k(x2-1)=k(x1-x2)
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=√(1+k²)·√(x1-x2)²

O到直线L的距离
d=|k|/√(1+k²) (点到直线距离公式)
∴S△AOB=d·|AB|/2=4/5
即√(1+k²)·√(x1-x2)² ·|k|/√(1+k²)=8/5
即|k|√(x1-x2)²=8/5
k²(x1-x2)²=64/25
k²[(x1+x2)²-4x1x2]=64/25
k²(x1+x2)²-4k²x1x2=64/25
k²[8k²/(4k²+1)]²-4k²(4k²-4)/(4k²+1)=64/25
k²=1 (k²=-4/11舍)
∴k=±1
∴L：y=±(x-1)