Question

求满足下列条件的函数f(x).

f`(X)是一次函数，且X的平方f`(X)-(2x-1)f(x)=1

Answer 1

设f'(x)=2kx+b，则f(x)=kx^2+bx+c
所以x^2(2kx+b)-(2x-1)(kx^2+bx+c)=1
2kx^3+bx^2-2kx^3+kx^2-2bx^2+bx-2cx+c=1
(k-b)x^2+(b-2c)x+c=1
上式是对于任意x均成立的，所以
k-b=0
b-2c=0
c=1
即c=1,b=2,k=2。
所以f(x)=kx^2+bx+c=2x^2+2x+1。