Question

已知函数f(x)=a㏑x+x²(a为实常数）求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x的值

Answer 1

f'(x)=a/x+2x
a>=0,f'(x)在区间上恒正，最小值在x=1取到，为1
a<0,f'(x)=0根为a=sqrt(-a/2)
讨论sqrt(-a/2)在相对区间[1,e]的位置
sqrt(-a/2)<1,即a>-2,f(x)增函数，f(1)=1最小
sqrt(-a/2)>e,即a<-2e^2,f(x)减函数，f(e)=e^2-a最小
1<=sqrt(-a/2)<=e，即-2e^2<=a<=-2, f(sqrt(-a/2))=(a/2)(ln(sqrt(-a/2))-1)最小
综上所述
a>-2,f(1)=1最小
a<-2e^2,f(e)=e^2-a最小
-2e^2<=a<=-2, f(sqrt(-a/2))=(a/2)(ln(sqrt(-a/2))-1)最小