Question

x,y,z属于正实数，且x＋y＋z＝6,求xy^2z＋xyz^2最大值

Answer 1

原式= x*y*z*(y+z) = x*y*z*(6-x) <=x*[(y+z)^2]/2*(6-x) = 27/4* x *(2-x/3)^3 <= 27/4 [[ x + (2-x/3) + (2-x/3)+ (2-x/3)] / 4]^4 = 27*81/64 = 2187/64
第一个不等号成立的条件： y=z
第二个不等号成立的条件： x = 2 - x/3
得出当x= 3/2, y = z =9/4是原式取最大值为 2187/64

PS：以上不等式均是使用算数平均值大于几何平均值

Answer 2

一道类似的题，希望对lz有帮助，因为时间仓促来不及为lz修改数据（先自拍一个），但是方法解释得很详细，如果可以的话希望楼主采纳

已知x y z是正实数，且X+Y+Z=1 则xy^2z+xyz^2的最大值是

1.
(αβγδ)^(1/4)≤(α+β+γ+δ)/4
这是因为
(αβγδ)^(1/4)=[(αβ)^(1/2)(γδ)^(1/2)]^(1/2)≤
≤[(αβ)^(1/2)+(γδ)^(1/2)]/2≤
≤[(α+β)/2)+(γ+δ)/2)]/2=(α+β+γ+δ)/4

2.
证明不等式:若0≤a,b,a+b=1
则ab^3≤3^3/4^4

证:[4a(1/4)b^(3/4)]/3^(3/4)=
=[(4a)(4b/3)(4b/3)(4b/3)]^(1/4)≤
≤[(4a)+(4b/3)+(4b/3)+(4b/3)]/4)=1
==>
ab^3≤3^3/4^4.

3.
xy^2z+xyz^2=xyz(y+z)≤x[(y+z)/2]^2(y+z)=
=(1/4)x(y+z)^3
对a=x,b=y+z使用2.的不等式得
(1/4)x(y+z)^3≤3^3/4^5=27/1024.
==>
xy^2z+xyz^2≤27/1024.

4.
当x=1/4,y=z=3/8时,
xy^2z+xyz^2=27/1024.
所以xy^2z+xyz^2的最大值是27/1024.

Answer 3

f(x,y,z)=xy²z＋xyz²+m(x+y+z-6)
f`x=y²z+yz²+m=0 (1)
f`y=2xyz+xz²+m=0 (2)
f`z=xy²+2xyz+m=0 (3)
(2)-(3)
xz²=xy²
x,y,z属于正实数
∴y=z
(1)-->y³+y³+m=0
m=-2y³
x+2x-2y=0
3x=2y
2y/3＋y＋y＝6
8y/3=6
y=z=9/4
x=3/2
xy^2z＋xyz^2=xyz(y+z)=4374/128

Answer 4

当x=y=z=2时，有最大值32