Question

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？,已知道是√5，希望有详细过程！O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？
解：过D作DP⊥AB ，P为垂足；再将DP 延长一倍至F，使PF=DP；连接CF与AB相交于E，那么
这个位置就是使EC+ED最小的位置；此时：
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中，CD=1，DF=2DP=2DBcos45°=√2，cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2，代入上式即得：(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值。
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′，连接CE′，DE′，FE′，按作图法，AB是DF的垂直平分线，故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形，三角形两边之和必大于第三边).

Answer 2

如图，将图补成一个正方形，三角形EDB全等于三角形EBD'.

所以ED=ED'

所以最短为CD'=根号5

谢谢~~~

Answer 3

解：作CW⊥AB于W，DP⊥AB于P。设EB=x,EC+ED的值为y.
∵△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90度，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，CW⊥AB于W，DP⊥AB于P。
∴Rt△ACB的以AB为底的高CW=为[sin(tan^-1AC/BC)]·CB=sin45°·2=√2=WB，又D是BC边的中点，CW‖DP，即Rt△CWB≌Rt△DPB,于是有CW/DP=CB/DB→√2/DP=1/2，得：DP=（√2）/2，即PB=DP=（√2）/2。又EB=x,EC+ED的值为y。
∴当0<x时，y=√[(WB-X)^2+CW^2]+√[（PB-X)^2+DP^2]=√（4-2√2x+x^2)+√(1-√2x+x^2)=√[(x-√2）^2+2]+√{[x-(√2)/2]^2+1/2}①
[那么x取何值时y最小？这就涉及将军引马的问题，此时我们应将CW关于AB作轴反射，得到WC`，连接C`E、ED，这就很明显了（因为在Rt△CWE与Rt△C`WE中有：C`W=CW，WE=WE，所以Rt△CWE≌（全等于）Rt△C`WE），要使EC+ED最小，即须使C`E、ED在同一条直线上（两点之间直线最短），再作C`E‖PZ，且C`E=PZ（C`E与PZ在AB同侧），（即有EC`ZP为平行四边形）连接C`Z（又∠AEC`=90°，即EC`ZP为矩形，即C`E、ED在同一直线上时有Rt△DZC`，且有EP‖C`Z），所以Rt△DZC`∽（相似于）Rt△DPE，即有ED/C`Z=DP/DZ=DP/（DP+PZ）=DP/（DP+CE），又ED=EA-PA=X-（√2）/2，C`Z=WP=√2，于是有[X-（√2）/2]/√2=（√2）/[（√2）/2+√2]→X=（5√2）/6，代入①中得：Y=（√74+√26）/6]
∴当x=（5√2）/6时，有EC+ED最小值，且为（√74+√26）/6]。（这里求EC+ED，最好是用图解法）

Answer 4

要求最短距离，在初中里无非是利用两点之间线段最短。而这要运用到轴对称。
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得：三角形DBE是等腰直角三角形，三角形CBE是直角三角形。
又易得：DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得：CE=根号5
即：EC+ED的最小值=根号5

Answer 5

答：令点E在AB中点上。
由题意知：AC=CB,CE=CE,AE=BE.所以△ACE与△CEB全等。
所以∠AEC=∠CEB=90度，CE垂直于AB,所以当E为AB中点时CE为最短，为根号2，
因为AB =根号8 ，所以AE=AB=CE=1/2AB=根号2,
因为D为CB中点，所以ED垂直于CB ，ED=1
所以EC+ED=根号2+1
我算是根号2+1 两个数加一起怎么是根号5呢？ 不懂？