Question

已知函数f(x)=2^(|x-m|)和函数g(x)=xlx-ml+2m-8. 若m=2,求g(x)的单调区间.

Answer 1

当m=2时，g(x)=x|x-2|-4
x≥2时g(x)=x^2-2x-4=(x-1)^2-5，在x≥2上单增；
x<2时g(x)=-x^2+2x-4=-(x-1)^2-3，在(负无穷大,1)上单增，在(1,2)上单减。
所以g(x)单增区间为(负无穷大,1)和(2,正无穷大)，单减区间为(1,2)

Answer 2

解：（1）m=2时，函数f（x）=）=2|x-2|，的对称轴方程为直线x=2，（2分）
g(x)=
x2-2x-4 (x≥2)-x2+2x-4(x＜2)​，
故函数g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（6分）
（2）f(x)=
2x-m (x≥m)2m-x(x＜m)​，则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2m-4 ，
g（x）在[4，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．（9分）
②当m＞8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2m-4，
g（x）在[4，
m2]单调增，[
m2，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8，
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．…（12分）
③0＜m＜4时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即72≤m＜4．（15分）
④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调减，在[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥
72．（舍去）
综上，m的取值范围是[
72，5]∪[6，+∞)．（18分）