Question

在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，求A，判断该△的形状

Answer 1

（a+b+c）（b+c-a）
=(b+c)²-a²
=b²+c²+2bc-a²
则b²+c²+2bc-a²=3bc
则b²+c²-a²=bc
又由余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc=1/2
又A∈（0，π)
则A=π/3
sinA=2sinBcosC
sinA=sin(π-B-C)
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC
则sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
则sinBcosC=cosBsinC
显然cosB, cosC都不为0，则两边同除cosBcosC有
tanB=tanC
又B,C∈(0,π)
则B=C
又B+C=π-A=2π/3
则B=C=π/3
所以三角形为等边三角形