Question

如图，抛物线y=1/3x^2-mx+n与x轴交于A.B两点，与y轴交于点c(0,-1),且对称轴x=1. (1)求出抛物线的解析式及

A.B两点的坐标 （2）在X轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABCD的面积为3，若存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由（使用图1）
（3）点Q在Y轴上，点P在抛物线上，要使Q.P.A.B为顶点的四边形使平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）

Answer 1

对称轴为x=1
所以 y=a（x-1）^2 +k
a =1/3
y=1/3 x^2 -2/3 x+1/3 +k
过点C
则-1=1/3+k
k=-4/3
和原式对比 m=2/3 n=-1

A B 的横坐标为 0=1/3 x^2 -2/3 x-1 的两根
解得 x1=3 x2=-1
A（3,0） B（-1,0）

Answer 2

（1）∵抛物线与y轴交于点C（0．﹣1）．且对称抽x=l．
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣1，
令 x2﹣ x﹣1=0，得：x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3．
作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，
∴S四边形ABCD= |xAyC|+ （|yD|+|yC|）xM+ （xB﹣xM）|yD|
= ×1×1+ [﹣（ a2﹣ a﹣1）+1]×a+ （3﹣a）[﹣（ a2﹣ a﹣1）]
=﹣ a2+ +2，
∴由﹣ a2+ +2=3，
解得：a1=1，a2=2，
∴D的纵坐标为： a2﹣ a﹣1=﹣4/3 或﹣1，
∴点D的坐标为（1，-4/3 ），（2，﹣1）；

（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为﹣4或4，
当x=﹣4时，y=7；当x=4时，y= 5/3；
所以此时点P1的坐标为（﹣4，7），P2的坐标为（4，5/3 ）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，
可证得△PHG≌△QOG，
∴GO=GH，
∵线段AB的中点G的横坐标为1，
∴此时点P横坐标为2，
由此当x=2时，y=﹣1，
∴这是有符合条件的点P3（2，﹣1），
∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（﹣4，7），P2的坐标为（4，5/3 ）；P3（2，﹣1）．

Answer 3

后面题目