Question

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续埋在(a,b)上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值

,又f(a)=g(a),f(b)=g(b)证明：
(1)存在α∈(a,b)使得f(α)=g(α)
(2)存在c∈(a,b)使得f"(c)=g"(c)

Answer 1

设函数f(x),g(x)在[a,b]上的最大值为M, 再选取x1, x2, a<x1,x2<b, 使得f(x1)=M=g(x2).
令h(x)=f(x)-g(x), 则h(a)=h(b)=0. 若h(x)在[a,b]上恒为0, 则(1),(2)显然成立, 下面考虑不恒为0的情况.
(1)若f(x2)=M, 则取α=x2∈(a,b), 显然有f(α)=g(α).
若g(x1)=M, 则取α=x1∈(a,b), 显然有f(α)=g(α).
若f(x2)≠M, g(x1)≠M, 则h(x1)=f(x1)-g(x1)>0, h(x2)=f(x2)-g(x2)<0, 所以
当x1>x2时，存在α∈(x2, x1)，使得f(α)=g(α);
当x2>x1时，存在α∈(x1, x2)，使得f(α)=g(α).
(2)由(1)可得存在α∈(a,b)使得f(α)=g(α), 所以h(a)=h(α)=h(b)=0.
由罗尔定理可得存在c1∈(a,α) c2∈(α,b), 使得f'(c1)=f'(c2)=0.
再次使用罗尔定理可得, 存在c∈(a,b)使得f''(c)=0.