Question

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,则下列命题正确的是:

1.若PA垂直BC,PB垂直AC,则H是三角形ABC的垂心.

2.若PA,PB,PC两两垂直,则H是三角形ABC的垂心.

3.若角ABC=90度,H是AC的中点,则PA=PB=PC.

4.若PA=PB=PC,则H是三角形ABC的外心.

过程

Answer 1

123真。证明：1因为PA,PH都垂直于BC，则面PAH垂直于BC,则AH垂直于BC
2易证，PA垂直于平面PBC，则，PA垂直于BC，而PH垂直于BC，则面AHP垂直于线BC，从而AH垂直于BC,后同理可证
3过H做AB平行线，HD,连接PH，因为PH垂直于BC,且等分BC,所以PB=PC，易证，平面PHD垂直于面ABC,则PD垂直于AC，易证，AD=CD，则在三角形PAC中，PD垂直平分AC，则PA=PC。
4连接CH并延长交AB于D，△ABP等腰得出，PD垂直于AB,从而面PDC垂直于AB,则CD垂直于AB，则CD为AB的中垂线。同理证三边，则为垂心，即内心

Answer 2

只有4是正确的
PA=PB=PC=S
PH⊥△ABC
∴HA=HB=HC=√(S ² -PH ² )
∴H是三角形ABC的外心.