Question

已知函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a（a∈R，a≠0）

已知函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a（a∈R，a≠0）
(1)若函数f(x)在[2,4]单调递增，求a的取值范围
（2）试求函数f(x)的极大值与极小值

Answer 1

f'(x)=3ax^2-6x在[2,4]大于等于0
=>f‘(x)=3a(x-1/a)^2-3/a
如果1/a<2 即a>1/2 或者a<0时，f'(2)在[2,4]内为最小值。
=>f'(2)=12a-12>=0 =>a>=1 ，所以，a>=1,f(x)在[2,4]单调递增。.
如果1/a>4时，即0<a<1/4时，f'(4)在[2,4]内为最小值。
=>f'(4)=48a-24>=0 =>a>=1/2，所以，a在此范围内不可能使f(x)在[2,4]单调递增。
如果1/4<a<1/2时，f'(2)和f'(4)均小于0。
f'(x)=0 =>x=0或者 x=2/a
f''(x)=6ax-6
f"(0)=-6<0 对应极大值 f(0)=1-3/a
f"(2/a)=6>0 对应极小值 f(2/a)=1-3/a-4/a^2

Answer 2

已知函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a,求函数f(x)的极大值与极小值
解:先求驻点和可能极值点.
函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a的定义域是一切实数,所以没有两端值.
求导:
f(x)ˊ=(ax^3-3x^2+1-3/a)ˊ
=3ax^2-6x
f(x)ˊˊ=(3ax^2-6x)ˊ
=6ax-6
∵当f(x)ˊ=3ax^2-6x=0时, x=0或 x=2/a 且.(a属于R且a不等0)
∵x=0和 x=2/a,是可能极值点
把x=0、 x=2/a分别带入f(x)ˊˊ中得：
f(0)ˊˊ=6ax-6=-6＜0
∴当x=0时函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a有极大值，且极大值=1-3/a
f(2/a)ˊˊ=6ax-6=12-6=6＞0
∴当x=2/a时函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a有极小值，
且极小值=a(2/a)^3-3(2/a)^2+1-3/a
=8/a^2-12/a^2+1-3/a
=1-4/a^2-3/a
∴函数f(x)的极大值为（1-3/a),极小值为1-4/a^2-3/a

希望对你有帮助。