Question

抛物线y^2=x上的点到直线x-2y+4=0的距离最小的点的坐标

Answer 1

设点P(y^2，y)在抛物线y^2=x上，
根据点到直线的距离公式d=︱Ax+By+C︱/√(A^2+B^2)
d=︱y^2-2y+4︱/√5；
因为y^2-2y+4=(y-1)^2+3≧3；
所以y=1时，d有最小值，此时点P的坐标为(1，1)

Answer 2

设直线x-2y+m=0与y^2=x相切，
联立两方程消去x得y^2-2y+m=0
由相切知，判别式=4-4m=0，即m=1
此时方程组中y=1，x=1
所以抛物线上点（1,1）到直线x-2y+4=0的距离最小
即最小距离的点的坐标为（1,1）
（实际上就是用已知直线向抛物线平行移动，当平行直线与抛物线相交时，这时距离最小，交点即为所求，最小距离为两直线间的距离）

Answer 3

(1/4,1/2)。先把直线的斜率求出来是Y=0.5。然后代入抛物线即可。

Answer 4

把y做自变量
x=y^2
x=2y-4
x'=2y
2y=2
y=1
x=+-1
得（1，1）（-1,1）

Answer 5

就是求抛物线y^2=x与直线x-2y+4=0平行的切线与抛物线的焦点，自己可以画一下图，一目了然。
设改点坐标（X0，Y0）
抛物线的倒数y'=o.5x的-0.5次幂。使0.5X0的-0.5次幂=1/2，得X0=1，Y0=1

（-1.1）不在抛物线上。做这种题一定要先画图，若没学过求导可看楼下的方法。