Question

一道高中数学题 要过程和解释！

已知集合A=｛－1≤x≤a，a＞－1且a∈R｝，B=｛y|y=2x—1，x∈A｝，C=｛z|z=x的平方，x∈A｝，是否存在a，使C含于B？若存在，求出a的取值范围；如不存在，说明理由。

不要只说过程，理由也要充分！谢谢啦！

Answer 1

根据A=｛xl -1≤x≤a，a＞-1且a∈R｝，
可以知道 a≥-1

由于y=2x-1 是单调函数
那么
B=｛yl y=2x-1,x∈A｝ = {y| -3 ≤y≤2a-1} = [-3， 2a-1]

z= x² 是对称轴为x=0且开口向上的抛物线
关于a讨论如下:
(1) 当 a≤0 时,
对于z,当x = -1 取到最大值, 当x=a时取到最小值,有 C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[a², 1]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ 1 且 -1≤a≤0
综合有 -1≤a≤0

(2) 当 0≤a≤1时
对于z, 当x=-1时候取到最大值,当x=0时候取到最小值,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[0, 1]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ 1 且 0≤a≤1
综合有0≤a≤1

(3)当a≥1时
对于z,当x=a时取到最大值,当x=0时,取到最小值,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[0, a²]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ a² 且 a≥1
2a-1≤ a² => a² - 2a + 1 ≥0 =>(a-1)²≥0 恒成立
综合得到 a≥1

综合(1),(2),(3)得到
当a ≥-1时,恒有C包含于B

Answer 2

根据A=｛xl -1≤x≤a，a＞-1且a∈R｝，
可以知道 a≥-1

由于y=2x-1 是单调函数
那么
B=｛yl y=2x-1,x∈A｝ = {y| -3 ≤y≤2a-1} = [-3， 2a-1]

z= x² 是对称轴为x=0且开口向上的抛物线
关于a讨论如下:
(1) 当 a≤0 时,
对于z,当x = -1 取到最大值, 当x=a时取到最小值,有 C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[a², 1]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ 1 且 -1≤a≤0
综合有 -1≤a≤0

(2) 当 0≤a≤1时
对于z, 当x=-1时候取到最大值,当x=0时候取到最小值,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[0, 1]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ 1 且 0≤a≤1
综合有0≤a≤1

(3)当a≥1时
对于z,当x=a时取到最大值,当x=0时,取到最小值,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[0, a²]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ a² 且 a≥1
2a-1≤ a² => a² - 2a + 1 ≥0 =>(a-1)²≥0 恒成立
综合得到 a≥1

综合(1),(2),(3)得到
当a ≥-1时,恒有C包含于B