Question

一道微分方程的求解

求解一阶线性方程： y'+[e^(-x)-1]y=1满足条件y|(x=ln2)=0的特解
因为P(x)=[e^(-x)-1] Q(x)=1
所以根据公式y=e^(-∫P(x)dx){∫Q(x)e^[∫P(x)dx]dx+C}
y=e^{-∫[e^(-x)-1] dx}{∫1e^[∫[e^(-x)-1] dx]dx+C}
=e^[e^(-x)+x]{∫e^[-e^(-x)-x] dx+c}

我觉得做的不对，因为这往下不会积分了

而且即使算出来y ，“满足条件y|(x=ln2)=0的特解”这个条件又怎么用呢？？

这个过程符号比较多，请解答一下吧，麻烦了

Answer 1

这个积分其实可以直接解出来的 接着你的做法 先解下{∫e^[-e^(-x)-x] dx} 这里我就不变量替换而是直接解了
∫e^[-e^(-x)-x] dx
=∫e^[-e^(-x)] 乘e^（-x）dx
=∫e^[-e^(-x)] 乘 d [- e^（-x）]=∫d { e^[-e^(-x)] }
=e^[-e^(-x)]

所以最后通解是
y=e^[e^(-x)+x]{e^[-e^(-x)]+c}
=e^x +C e^[e^(-x)+x]
是不是很简洁了呢 最后把x=ln2 y=0 代入两端 就可以求出C
C最后应该是等于- e^（-1/2）
另外近距离围观下我LS的童鞋。。

Answer 2

y ' + [e^(-x)-1] y = 0 的通解 y = C * e^ [e^(-x)+x]
y ' + [e^(-x)-1] y = 1 的一个特解 y = e^x (观察法)
y ' + [e^(-x)-1] y = 1 的通解 y = C * e^ [e^(-x)+x] + e^x
y|(x=ln2)=0 => 2 C e^(1/2) + 2 = 0
确定常数 C = (-1) e^(-1/2)
=> y = e^x - e^ [ e^(-x)+x - 1/2]

∫ e^[-e^(-x)-x] dx 令u = e^(-x)
= ∫ e^(-u) (-1)du = e^(-u) + C

Answer 3

我想这题应该不是这个思路
y'+[e^(-x)-1]y=1
y'+y/e^x-y=1
y'-y=1-y/e^x
两边同时除以e^x
(y'-y)/e^x=(1-y/e^x)/e^x
[(e^x)y'-(e^x)y]/(e^x)²=(1-y/e^x)/e^x
(y/e^x)'=(1-y/e^x)/e^x
令u=y/e^x
u'=(1-u)/e^x
du/(1-u)=e^(-x)dx
-ln(1-u)=-e^(-x)+C
因为y|(x=ln2)=0
所以u|(x=ln2)=0/2=0
那么-ln1=-1/2+C
C=1/2
即-ln(1-y/e^x)=-e^(-x)+1/2
ln(1-y/e^x)=e^(-x)-1/2
1-y/e^x=e^[e^(-x)-1/2]
y=e^x-e^[e^(-x)-1/2+x]

Answer 4