Question

高中数学函数题，高手来，很急！

已知 f(x) * f( f(x)+1 ) = 1
问 ⒈是否可以求出f(x)的解析式，如果可以，请求出；如果不能，说明理由。
⒉求出 f(1)=?
f(x)在（0，+无穷大）上为单调函数
关键求f(1)

这题题目是错的，班上抄的同学抄错了，原题我看过后有两种解法，我想应该还有其他解法，我很有兴趣，所以再补50分，这次目的改为看题目有多少种解法，希望大家把能想到的解法都打出来，各抒己见，最后解法最多的那位将被采纳，好的话再追加50分，希望大家好好加油！（不允许偷抄，鄙视偷抄，原题见下面）

已知f(x)在（0，+无穷大）上为单调函数，且 f(x) * f( f(x)+1/x ) = 1 ，求f(1)=？

题目就是1改为1/x ，其余不变，时间截止到下周一晚上（如果我没上的话就推迟到周二中午），大家好好加油吧！

Answer 1

题目有问题!
已知f(x) * f( f(x)+1 ) = 1 设 f(x)+1 =y,(y-1)*f(y)=1
推出f(y)=1/(y-1)
注意条件是:y-1不等于0
但已知f(x) * f( f(x)+1 ) = 1要成立f(x)就不可能等于0 也就是y=f(x)+1不可能等于1,条件是肯定满足的,也就是说f(y)=1/(y-1)恒成立
推出
f(x)=1/(x-1) 恒成立
f(x)=1/(x-1) 相当与f(x)=1/x向右平移1个单位,由于 f(x)=1/x是(0，+无穷大）上为单调函数
所以f(x)=1/(x-1) 是(1 ，+无穷大）上为单调函数
已知补充的f(x)在（0，+无穷大）上为单调函数 是错误的
f(1)也不存在

Answer 2

令y = f(x)+1,则原式变为 （y-1）*f（y）=1，所以f(y) = 1/(y-1)
f（1）不存在
题目没有出错吗？f(x) - 1还可以

都说你题目错了吧。
1、若不严格单调，那么常数函数f(x) = 1符合条件，则f(1) = 1，或者分段函数也可以满足。可能是题目不严密吧。
2、若严格单调。根据单调性以及通式，可以知道f(x) 在（1，+无穷）恒大于0或者恒小于0，又因为表达式中有f(x) + 1/x知f(x) 恒大于0
设f(1) = b
则有 f(b + 1)*b = 1 得到f(b + 1) = 1/b
当 x = b+1时（x必能取到b+1，因为属于（0，+无穷））
有 1/b * f(1/b + 1/(b+1)) = 1 得到 f(1/b + 1/(b+1)) = b = f(1)
所以根据单调性得到表达式1/b + 1/(b+1) = 1
化简得 b^2 - b - 1 = 0
解除b大于0的解即为f(1) 的值
解得 b = （1+根号5）/2

Answer 3

f(1)它就等于1，你直接带入就行，至于f(x)=1/(x-1)

的定义域是X不等于1的时候，它是一个分段函数，就是分定义域等于一和不等于一！你理解没没！

Answer 4

令f(x)=y，则
yf(y+1)=1，即：
f(y+1)=1/y
所以有：f(x)=1/(x-1)

由1），定义域不能含有X=1。

追问

虽然这么说可以，但题目确切有让求f(1)，所以我认为可能要用别的方法求吧

追答

y为值域的数，如果其也是定义域里的数，则会有：f(y)=1/(y-1),但此时不满足（0，+无穷大）上为单调函数。因此值域里的数不会是定义域里的数。
定义域至少为（0，+无穷大），因此值域必定为负值, f(x)<0
要使f(x)+1也为定义域，应有：f(x)+1属于定义域里的值。
f(x)=-1就满足？

Answer 5

f(x)=1\(x-1) 在x不等于1的时候都成立。根据函数图象，不论f(1)是多少也不可能满足单调这个条件的