Question

讨论函数f(x)=x+(a/x)(a不等于0)的单调性

请告诉我详细的过程，最好还告诉我以后解这种题的方法。
非常感谢！

Answer 1

这种题就是求导呀。
f‘(x)=1+a*(x^-1)
=1- a/x²

(1)
若a<0 则-a/x²>0 1- a/x²=f'(x)>1
此时x>0，x<0 f(x)必为增函数

(2)
若a>0 则- a/x²<0 ，1-a/x² =f'(x)<1
①若0<f’(x)<1 f(x)为增函数 即
0<1-a/x²<1
0<x²-a<x²
-x²<-a<0
0<a<x²
x>√a 或x<-√a

②若f'(x)<0 f(x)为减函数 即
1- a/x²<0
a/x²>1
a>x²
且x作分母，不为零 故
0<x<√a 或 -√a<x<0

综上，
若a<0时，x>0或x<0 f(x)单调递增
若a>0时，x>√a 或x<-√a f(x)单调递增；0<x<√a 或 -√a<x<0 ，f(x)单调递减

追问

- a/x²<0 ，1-a/x² =f'(x)<1
这个得出后，与f(x)=x+(a/x)有什么关系？
我是高一年级初学者，能否用最基础最简单的方法告诉我

追答

高一没学导数么？导数大于零那么原函数增函数，导数小于零那么原函数是减函数。

追问

现在还未学导数啊

追答

哦,没学啊, 那只能分段讨论了,
考虑在(-无穷,0)上
设x10,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-√a,0)上是单调递减

在(0,正无穷)上也一样,因为是奇函数.

Answer 2

高一新生的话，应该是 用定义来求
设x1<x2, x2-x1>0
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+a[1/x2-1/x1]=(x2-x1)[1-a/(x2x1)]
(1)a>0, f(x)奇函数，
(A) 0<x<√a, 0<x2x1<a, a/(x2x1)>1
:. f(x2)-f(x1)<0, f(x)减区间
(B) x>√a, x2x1>a, a/(x2x1)<1, 1-a/(x2x1)>0
:. f(x2)-f(x1)>0, f(x)增区间
奇函数在对称区间具有相同的奇偶性。
(2)a<0, 自己练习。

Answer 3

首先，f(-x) = -f(x),这是个奇函数 所以先只考虑 x >0的情况

当a > 0时，在x>0时，f(x) >= 2 sqrt(a) ,且有f(sqrt(a)) = 2 sqrt(a)
当x > sqrt(a)时，f(x)单调上升
当0<x<sqrt(a)时，f(x)单调下降

当 x < 0时，有
当 x > -sqrt(a)时，f(x)单调下降
当x < -sqrt(a)时，f(x)单调上升

当a <0时，可以得出相似的结论。

这种题的思路是，你先随便选两个数 x1 < x2,然后计算 f(x1) - f(x2) 当它<0时应满足什么条件。