Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b∈R都满足f(a*b)=af(b)+bf(a)

判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论

Answer 1

因为对任意的a,b∈R都满足f(a*b)=af(b)+bf(a),
取a=b=1,得
f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
取a=b=-1
f(1)=-2f(-1)=0
f(-1)=0
再取
a=x,b=-1
f(-x)=xf(-1)+(-1)f(x)=-f(x)
f(-x)+f(x)=0
因为f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，
所以
函数为奇函数!