Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b R,都满足f(ab)=af(b)+bf(a)

(1) 求f（0），f（1）的值
（2）判断f（x）的奇偶性
非常感谢
希详细解答

Answer 1

令a=b=0，得到f（0)=0
令a=b=1，得到f（1)=f（1)+f（1)，f（1)=0
令a=b=-1，得到f（1)=f（-1)+f（-1)，f（-1)=0
对任意的x，f(-x)=f[(-1)*x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
所以函数为奇函数

Answer 2

(1)
f(0)=f(2*0)=2f(0)+0f(2)=2f(0)，所以f(0)=0.
f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
f(1)=f[(-1)*(-1)]=-f(-1)-f(-1)=0,所以f(-1)=0.
(2)
f(-x)=f[(-1)*x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
所以f(x)是奇函数.