Question

设函数f(x)=2sinxcos^2φ/2+cosxsinφ-sinx（0<φ<π）在x=π处取得最小值.求f(x)的单调递增区间

Answer 1

解：f(x)=2sinxcos^2(φ/2)+cosxsinφ-sinx
=sinx*[2cos^2(φ/2) -1] +cosxsinφ
=sinxcosφ +cosxsinφ
=sin(x+φ)
由于f(x)在x=π处有最小值，则sin(π+φ)=-1
即sinφ=1
因为0<φ<π，所以解得φ=π/2
则f(x)=sin(x+π/2)=cosx
所以由余弦函数的图像和性质可知：
f(x)的单调递增区间为每一个区间[2kπ-π,2kπ]，k∈Z

Answer 2

设函数f(x)=2sinxcos^2(φ/2)+cosxsinφ-sinx（0<φ<π）在x=π处取得最小值.求f(x)的单调递增区间
解：f(x)=sinx(1+cosφ)+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ)
f(π)=sin(π+φ)=-sinφ=-1，故φ=π/2，于是f(x)=sin(x+π/2)=-cosx
故其单调递减区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z.

Answer 3

f(x)=sinx（cosφ+1）+cosxsinφ-sinx
=sinxcosφ+cosxsinφ
=sin（x+φ）
因为在x=π处取得最小值，所以φ=π/2,
所以2kπ-π/2 <=x+π/2<=2kπ+π/2,
单调递增区间为[2kπ-π，2kπ]