Question

求助！！！高一数学函数题~！！！

已知函数f（x）是定义在R上的函数，若对于任意x,y∈R，都有f（x+y）=f(x
)+f(y),且x>0时，有f(x)>0.
（1）判断函数的奇偶性：
（2）判断函数f（x）在R上是增函数，还是减函数，并证明你的结论

Answer 1

（1）设x=y=0，易得f(0)=0；设y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x);易得f(x)=-f(-x),所以函数为奇函数。
（2）设x>0,y>0,则x+y>x>0，则f(x+y)-f(x)=f(y)>0,即f(x)在x>0上是递增函数。
由奇函数性质可得，在x<0上也为递增函数。
所以函数在R上为增函数。
希望对你有所帮助。

Answer 2

(1)令x=y=0.f(0)=2f(0),∴f(0)=0
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),故为奇函数
（2）设x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0
f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x2-x1)+f(x1)>f(x1)
∴为增函数。

Answer 3

（1）先把x=0,y=0代入f（x+y）=f(x)+f(y)得：f(0)=2f(0)，所以f(0)=0；
然后把y=-x代入f（x+y）=f(x)+f(y)得：f(0)=f(x)+f(-x)
所以：f(x)+f(-x)=0，也就是说f(-x)=-f(x)，
所以是奇函数。
（2）令x1<x2，则x2-x1>0，因为x>0时，有f(x)>0，所以f(x2-x1)>0；
又因为x2=(x2-x1)+x1，所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
而由f（x+y）=f(x)+f(y)可得：f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
即f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)，
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
已证得f(x2-x1)>0，所以f(x2)-f(x1)>0
即证得了x1<x2时，f(x1)<f(x2)
所以是增函数

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！