Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有相等

已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有相等实根。
（1）求f(x)的表达式
（2）是否存在实数m,n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由。

Answer 1

呵呵，这是我们单元测验的最后一题
(1)解：
∵f(-x+5)=f(x-3)
∴f(x)对称轴为[(-x+5)+(x-3)]/2=1
∴-b/2a=1
b=-2a
∵f(x)=x有相等实根
∴对于ax^2+(b-1)x=0
Δ=b^2-2b+1=0
b-1=0
b=1
∴a=b/-2=-1/2
答:f(x)=-1/2x^2+x
(2)解：
∵f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2≤1/2
∴3n≤1/2
n≤1/6
当m<n≤1时
f(x)为增函数
∴f(m)=3m
f(n)=3n
解得m1=0,m2=-4
n1=0,n2=-4
∵m<n
∴m=-4,n=0
当m<1<n时
f(1)=-1/2+1=1/2=3n
n=1/6与n>1矛盾
∴不存在m<1<n
当1≤m<n时
n>1与n≤1/6矛盾
∴不存在1≤m<n
综上所述
m=-4,n=0

Answer 2

解：f(-x+5)=f(x-3)
关于x=1对称。-b/(2a)=1, :. b=-2a --(1)
方程f(x)=x有两个相等的实根
ax^2-(2a+1)x=0有两相等的根, :. 判别式=0， 则 a=-1/2
:. b=1
f(x)=-1/2x^2+x

2、f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2
[m,n]上恒有y,属于[3m,3n]

下面这个方法比较独特， 因为y=3x满足上述性质：定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]
作f(x)和y=3x的图像，如果有交点，则存在，如果没焦点，则这样的mn不存在。
联立求解，画图，则交点为(0,0), (-4, -12)
故存在这样的实数m=0, n=-4, 满足题意。
网上很多讨论，我是刚刚想到这个数形结合的方法，比较妙。