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高一数学题求答(过程):已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x. (1)求f(x)得表达式
(2)判断函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上的单调性,并证之。(希望各位哥哥姐姐。。。帮我解答,多谢)...
(2)判断函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上的单调性,并证之。(希望各位哥哥姐姐。。。帮我解答,多谢)
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解:(1)设f(x)=ax^2+bx+c,
则,f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)^2+a(x-1)^2+b(x+1+x-1)+2c
=2(ax^2+bx+a+c)
=2x^2-4x
=2(x^2-2x)
所以,a=1,b=-2,a+c=0,c=-1,
f(x)=x^2-2x-1
(2)g(x)=f(x)/x=x-2-1/x
因为x>0时,x随x的增大而增大,-1/x随x的增大而增大,
所以g(x)=f(x)/x=x-2-1/x随x的增大而增大.
证明:设x1<x2,
g(x1)-g(x2)=(x1-x2)+(x1-x2)/(x1x2)>0,
所以,g(x)在(0,+∞)上单调递增.
则,f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)^2+a(x-1)^2+b(x+1+x-1)+2c
=2(ax^2+bx+a+c)
=2x^2-4x
=2(x^2-2x)
所以,a=1,b=-2,a+c=0,c=-1,
f(x)=x^2-2x-1
(2)g(x)=f(x)/x=x-2-1/x
因为x>0时,x随x的增大而增大,-1/x随x的增大而增大,
所以g(x)=f(x)/x=x-2-1/x随x的增大而增大.
证明:设x1<x2,
g(x1)-g(x2)=(x1-x2)+(x1-x2)/(x1x2)>0,
所以,g(x)在(0,+∞)上单调递增.
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1、设f(x)=ax^2+bx+c,则:由f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x,得:
a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x
即:2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x
所以:2a=2,2b=-4,2a+2c=0
即:a=1,b=-2,c=-1
所以:f(x)=x^2-2x-1
2、g(x)=f(x)/x=(x^2-2x-1)/x=x-1/x-2
设:0<x1<x2
则:g(x1)-g(x2)=x1-1/x1-2-x2+1/x2+2=x1-x2+1/x2-1/x1
因为:0<x1<x2
所以:1/x1>1/x2
所以:x1-x2+1/x2-1/x1<0
即:g(x1)-g(x2)<0
所以:g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上为单调递增函数。
a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x
即:2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x
所以:2a=2,2b=-4,2a+2c=0
即:a=1,b=-2,c=-1
所以:f(x)=x^2-2x-1
2、g(x)=f(x)/x=(x^2-2x-1)/x=x-1/x-2
设:0<x1<x2
则:g(x1)-g(x2)=x1-1/x1-2-x2+1/x2+2=x1-x2+1/x2-1/x1
因为:0<x1<x2
所以:1/x1>1/x2
所以:x1-x2+1/x2-1/x1<0
即:g(x1)-g(x2)<0
所以:g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上为单调递增函数。
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待定系数法:
设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2(a+c)=2x^2-4x
∴2a=2, 2b=-4, a+c=0解得,
a=1,b=-2,c=-1
f(x)=x^2-2x-1
f(1-根号2)=-2
设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2(a+c)=2x^2-4x
∴2a=2, 2b=-4, a+c=0解得,
a=1,b=-2,c=-1
f(x)=x^2-2x-1
f(1-根号2)=-2
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解设f(x)=ax^2+bx+c
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x;
对应系数解答a=-4,b=2,c=4;得到f(x)=-4x^2+2x+4
(2)利用函数的单调性定义即可解决
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x;
对应系数解答a=-4,b=2,c=4;得到f(x)=-4x^2+2x+4
(2)利用函数的单调性定义即可解决
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