Question

已知m,n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根

求证:以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4

Answer 1

以m+n为边长的正方形面积=(m+n)的平方
以m、n为边长的矩形面积=m*n
两者之比为=(m+n)的平方/m*n
因为m,n是题中方程的两个实根，故m、n分别等于
（-b+根号下(b平方-4*2a*c)）/2a*2
和 (-b-根号下(b平方-4*2a*c)）/2a*2
(m+n)的平方/m*n=(-2b/4a)的平方/((b平方-(b平方-4*2a*c))/16a平方)
=4b平方/8ac=b平方/2ac
由方程有两个实根知：b平方-4*2a*c>0 知 b平方>4*2a*c
故 (m+n)的平方/m*n>4*2a*c/2ac=4

Answer 2

(m+n)^2=m^2+n^2+2mn≧2mn+2mn=4mn