已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=a4+2,且a1,a2-1,a3-1成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=a4+2,且a1,a2-1,a3-1成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{1anan+1}的前... 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=a4+2,且a1,a2-1,a3-1成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{1anan+1}的前n项和为Tn,求证:13≤Tn<12(n∈N*) 展开
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宣哥无限叼282
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(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d≠0),
∵S3=a4+2,∴3a1+
3×2×d
2
a1+3d+2
.①…(3分)
又∵a1,a2-1,a3-1成等比数列,
a1(a1+2d?1)=(a1+d?1)2.②…(5分)
由①②解得a1=1,d=2.…(6分)
∴an=a1+(n-1)d=2n-1.…(7分)
(Ⅱ)∵
1
anan+1
1
(2n?1)(2n+1)
1
2
(
1
2n?1
?
1
2n+1
)
,…(8分)
Tn
1
2
[(1?
1
3
)+(
1
3
?
1
5
)+(
1
5
?
1
7
)+…+(
1
2n?1
?
1
2n+1
)]

=
1
2
(1?
1
2n+1
)
.…(10分)
∴当n=1时,T1
1
2
(1?
1
2×1+1
)=
1
3

当n>1时,Tn
1
2

1
3
Tn
1
2
(n∈N*)
.…(12分)
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