Question

（2012?溧水县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：

（2012?溧水县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE=∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4=90°．
∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．
又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴

BD

AD

＝

BA

AE

，
∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD=

8

3

3

．
∴⊙O半径为

4

3

3

．