Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2-x1＞ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=

1

e

∴①0＜t＜

1

e

时，函数f（x）在（t，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，t+2）上单调递增
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f(

1

e

)＝?

1

e

；
②当t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f（x）_min=

? 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

；
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=lnx+x+

2

x

在（0，+∞）上有且只有一根
令h（x）=lnx+x+

2

x

，则h′(x)＝

(x+2)(x?1)

x2

∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增
∴a=h（x）_min=h（1）=3
（3）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a
题意即为y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点
∵G′(x)＝?

1

x

+2，∴G（x）在（0，

1

2

）上单调递减，在（

1

2

，+∞）上单调递增
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）_min=G（

1

2

）=ln2时，x₁，x₂存在，且x₂-x₁的值随着a的增大而增大
而当x₂-x₁=ln2时，由题意

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