Question

（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过

（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵C是劣弧AE的中点，
∴

AC

=

CE

，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=

1

2

AF=1，
∴AD=

3

DF=

3

，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即

3

：AG=1：2，
∴AG=2

3

．

Answer 2

解答：

（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵C是劣弧AE的中点，
∴

AC
=

CE
，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=
1
2
AF=1，
∴AD=
3
DF=
3
，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即
3
：AG=1：2，
∴AG=2
3
．😳