Question

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．（1）求此函数的解析式和

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．（1）求此函数的解析式和对称轴；（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3），
∴

9a+3b+c＝0 4a+2b+c＝?3 c＝?3

，
解得

a＝1 b＝?2 c＝?3

，
∴此函数的解析式为y=x²-2x-3，
对称轴为直线x=-

b

2a

=-

?2

2×1

=1，
即直线x=1；

（2）设对称轴与x轴的交点为D，则AD=3-1=2，
①如图1，点A是直角顶点时，过点B作BE⊥x轴于E，
∵A（3，0），B（2，-3），
∴BE=3，AE=3-2=1，
∵∠PAD+∠BAE=∠PAB=90°，
∠PAD+∠APD=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BAE，
又∵∠ADP=∠AEB=90°，
∴△ABE∽△PAD，
∴

AE

PD

=

BE

AD

，
即

1

PD

=

3

2

，
解得PD=

2

3

，
∴点P的坐标为（1，

2

3

）；

②如图2，点B是直角顶点时，过点B作BE⊥x轴于E，作BF⊥对称轴与F，
则AE=1，BF=2-1=1，DF=BE=3，
∵∠ABE+∠PBE=90°，
∠PBF+∠PBE=90°，
∴∠ABE=∠PBF，
又∵∠AEB=∠PFB=90°，
∴△ABE∽△PBF，
∴

AE

PF

=

BE

BF

，
即

1

PF

=

3

1

，
解得PF=