Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(? 2 3 )＝ 12 9 ? 4 3 a+b＝0 f′(1)＝3+2a+b＝0

解得，

a＝? 1 2 b＝?2

f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），递减区间是（-

2

3

，1）．
（2）f(x)＝x3?

1

2

x2?2x+c，x∈[?1， 2]，
当x=-

2

3

时，f（x）=

22

27

+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．