Question

已知数列{an}中，a1=1，an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式

Answer 1

解：
an=2a(n-1)+1
an-2a(n-1)=1

a2-2a1=1
a3-2a2=1
a4-2a3=1
……
an-2a(n-1)=1
把上面式子从第二行开始分别乘以1/2，(1/2)^2，(1/2)^3，……，（1/2）^（n-2），得
a2-2a1=1
1/2*（a3-2a2）=1*1/2
(1/2)^2*（a4-2a3）=1*(1/2)^2
……
（1/2）^（n-2）*［an-2a(n-1)］=1*（1/2）^（n-2）
【等式两边分别相加，左边中间项都消掉了，只余a1和an项，右边是等比数列的和】
（1/2）^（n-2）*an - 2a1 = 1+1/2+（1/2）^2+……+（1/2）^（n-2）
=［1-（1/2）^（n-1）］/（1-1/2）
=2 - 2*（1/2）^（n-1）
=2 - 2*2^（1-n）
=2 - 2^（2-n）
an=［2a1+2 - 2^（2-n）］/（1/2）^（n-2）
=［2+2 - 2^（2-n）］/2^（2-n）
=2^2/2^（2-n）-1
= 2^n -1

Answer 2

由an=2a(n-1)+1
得an+1=2[a(n-1)+1]
于是设bn=an+1
则bn=2b(n-1),
于是{bn}是b1=a1+1=2,公比q=2的等比数列，
bn=b1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
从而an=bn-1=2^n-1