Question

（2010?荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆

（2010?荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC?CD=PC?BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

Answer 1

（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°．
而∠CAB=∠CPD，
∴△ABC∽△PDC．
∴

AC

CP

＝

BC

CD

．
∴AC?CD=PC?BC；（3分）

（2）解：当点P运动到

AB

中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵AB为直径，AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4．
∵P是

AB

的中点，
∴∠PCB=45°，
∴CE=BE=

2

2

BC=2

2

．
又∠CAB=∠CPB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

．
∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

(

2

2

BC)=

3 2

2

．
从而PC=PE+EC=

7 2

2

，
由（1）得CD=

4

3

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