Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上一点，作∠CDE=∠A，过点C作CE⊥CD交DE于E，联结BE

求证：AB⊥BE

Answer 1

根据相似三角形的判定，得到△BCE∽△ACD，根据已知及相似三角形的对应角相等，即可求得结论．
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°
又∵∠CDE=∠A
∴△DCE∽△ACB，
∴ CE/CB=CD/CA；
∴ CE/CD=CB/CA，
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE=∠A，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE．
此题主要考查相似三角形的判定及性质的综合运用．

Answer 2

证明：（1）∵CE⊥CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°
又∵∠CDE=∠A
∴△DCE∽△ACB，
∴CECB=
CDCA；

（2）∵CECB=
CDCA，
∴CECD=
CBCA，
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE=∠A，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE．

Answer 3

∵∠CDE=∠A,∠ACB=∠DCE=90
∴△ACB∽△DCE,∠DCA=∠BCE
∴AC/DC=BC/CE
∴△DCA∽△ECB
∴∠CBE=∠A
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=90
∴AB⊥BE