Question

幂函数 已知f(x)=ax^3+b(a≠0)是R上的奇函数.用单调性的定义证明:当a<0时,f(x)在(-∞，0）上是减函数。

另比较f（根号π）与f（根号3）的大小

Answer 1

因为f(x)为奇函数，所以b=0
所以f(x)=ax^3
设x1<x2<0
则f(x1)-f(x2)=ax1^3-ax2^3
=a(x1^3-x2^3)
=a(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
因为a<0,x1<x2,x1x2>0,x1^2+x1x2+x2^2>0
所以f(x1)-f(x2)>0
即当a<0时,f(x)在(-∞，0）上是减函数。
f（根号π）=-f(-根号π），f（根号3）=-f（-根号3）
而-根号π<-根号3<0
所以f(-根号π）>f（-根号3）
-f(-根号π）<-f（-根号3）
即f（根号π）<f（根号3）

追问

第二问应该还要进行a＞0，a＜0的的讨论吧?

追答

哦我以为你是接上一个题目后面的。是的要讨论

Answer 2

因为f(x)为奇函数，所以b=0
对f(x)求导得2ax(x的平方)，当a<0时，f(x)导函数小于0，所以是减函数
f(x)在x<0时为减函数，f(x)为奇函数，则在x>0时还是减函数，所以根号2大于根号3