Question

为什么两个重要极限的(1+1/x)^x那个极限是e

Answer 1

先设u_n=(1+1/n)^n

那么u_n是单调有界的，则极限存在，当n趋于无穷时，记u_n的极限为e。

而当x趋于正无穷时令n=[x],则

[1+1/(n+1)]^n<==(1+1/x)^x<==(1+1/n)^(n+1)

当n趋于无穷的时候，两边的极限是e，根据夹逼法则，可以得到(1+1/x)^x的极限为e，负无穷的时候类似。

应用

1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a。

若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。

2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定。

Answer 2

这是因为可以证明数列{(1+1/n)^n}是收敛的，但是其极限是多少呢？开始大家也不知道，所以干脆把它记作e，现在大家已经清楚了，这个e是一个无理数，约等于2.7182818
然后利用这个数列极限结合夹逼准则可知函数(1+1/x)^x当x->∞时极限也等于e

Answer 3

先设u_n=(1+1/n)^n,,那么u_n是单调有界的，则极限存在，当n趋于无穷时，记u_n的极限为e。而当x趋于正无穷时，令n=[x],则
[1+1/(n+1)]^n<==(1+1/x)^x<==(1+1/n)^(n+1)
当n趋于无穷的时候，两边的极限是e，根据夹逼法则，可以得到(1+1/x)^x的极限为e，负无穷的时候类似。

Answer 4

见图

Answer 5

lim(1+1/x)^x
=lime^(x*ln(1+1/x))
=lim e^ln(1+1/x)/(1/x)（洛比达）
=lime^(1/(1+1/x）)
=lime^1=e