Question

1.已知函数fx=(a-1)(a的x次方-a的-x次方）（a>0且a≠1）在R上是增函数，则实数a的取值范围

Answer 1

因f(x)为增函数，对于任意x1与x2(x1>x2)有f(x1)>f(x2)
即(a-1)(a^x1-1/a^x1)>(a-1)(a^x2-1/a^x2)
(a-1)(a^x1-a^x2)((1+1/(a^x1*a^x2))>0
由a>0有a^x>0 所以 1+1/(a^x1*a^x2)>1>0
a<1时 a^x为减函数
a-1<0 a^x1-a^x2<0 满足不等式恒大于0的情况
a>1时 a^x为增函数
a-1>0 a^x1-a^x2>0 满足不等式恒大于0的情况
所以a的取值范围为 a>0且a≠1

Answer 2

因f(x)为增函数，对于任意x1与x2(x1>x2)有f(x1)>f(x2)
即(a-1)(a^x1-1/a^x1)>(a-1)(a^x2-1/a^x2)
(a-1)(a^x1-a^x2)((1+1/(a^x1*a^x2))>0
由a>0有a^x>0 所以 1+1/(a^x1*a^x2)>1>0
a<1时 a^x为减函数
a-1<0 a^x1-a^x2<0 满足不等式恒大于0的情况
a>1时 a^x为增函数
a-1>0 a^x1-a^x2>0 满足不等式恒大于0的情况
所以a的取值范围为 a>0且a≠1