Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+bx^2-3a^2x(a≠0)在x=a处取得极值,设函数g(x)=2x^3-3af`(x)-6a^3，

如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=-(1/3)x³+bx²-3a²x(a≠0)在x=a处取得极值,设函数g(x)=2x³-3af`(x)-6a³，
如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值，求实数a的取值范围
解：f′(x)=-x²+2bx-3a²，由于f(x)在x=a处取得极值，故有f′(a)=-a²+2ab-3a²=2ab-4a²=2a(b-2a)=0
于是得a=0或b=2a.
当a=0时，f′(x)=-x²+2bx，这时g(x)=2x³在（0，1)上不存在极小值，故a≠0；
当b=2a时，f′(x)=-x²+4ax-3a²，此时g(x)=2x³-3a(-x²+4ax-3a²)-6a³=2x³+3ax²-12a²x；
令g′(x)=6x²+6ax-12a²=6(x²+ax-2a²)=6(x+2a)(x-a)=0，得驻点x₁=-2a，x₂=a；
当a<0时,-2a>a，a<x<-2a时g′(x)<0；当x>-2a时g′(x)>0，故此时x₁=-2a是极小点，
g(-2a)=-16a³+12a³+24a³=20a³是极小值；依题意，0<-2a<1，故得-1/2<a<0..........(1)
当a>0时，-2a<a，当-2a<x<a时g′(x)<0；当x>a时g′(x)>0；故此时x₂=a是极小点；
g(a)=2a³+3a³-12a³=-7a³是极小值。依题意，0<a<1............(2)
故{a︱-1/2<a<0}∪{a︱0<a<1}，这就是实数a的取值范围。

Answer 2

∵f(x)=-1/3x^3+bx^2-3a^2x
∴f'(x)=-x^2+2bx-3a^2
有f'(a)=-a^2+2ab-3a^2=0
解得b=2a，代入有
f'(x)=-x^2+a^2
代入g(x)得
g(x)=2x^3+3ax^2-9a^3
∴g'(x)=6x^2+6ax
令g'(x)=0得，x=-a或x=0
①a>0
有令g'(x)＞0得x>0或x<-a
画图易知在(0,1)是单调函数，不满足要求
②a<0
同理解得g'(x)>0有x>-a或x<0
画图易知当-a>1时满足题意
则-1<a<0