Question

已知抛物线y=x2+(1-2k)x+k2(k不等于0)与x轴交于两点A(X1,0),B(x2,0)(x1≠X2),顶点c

已知抛物线y=x2+(1-2k)x+k2(k不等于0)与x轴交于两点A(X1,0),B(x2,0)(x1≠X2),顶点为C
（1）若三角形ABC为直角三角形，求K
（2）若三角形ABC为等边三角形，求K

Answer 1

由题目可知AC=BC
①若ABC为直角三角形，则∠C=90°，即等腰直角三角形
C点的纵坐标为k-0.25＜0
∴丨x2-x1丨=0.5-2k
丨x2-x1丨²=（x1+x2）²-4x1x2=（2k-1）²-4k²=-4k+1
∴k=5/4或1/4（舍去，当k=1/4时x1=x2）
②若ABC为等边三角形，则C到AB的距离=√3/2AB
∴（0.25-k）²=√3/2（-4k+1）
∴k=（2√3+1）/4或1/4（舍去，当k=1/4时x1=x2）