Question

一道高数极限的题目 （1+x）^(1/x)，当x趋于0时，该式子的泰勒展开式的三次方的系数为？，答案是-7/16,

我算的是-5/12。请高手说下对错，以及比较详细的过程。

Answer 1

解：
直接展开没有办法做，只能变化！

(1+x)^(1/x)
=e^ln[(1+x)^(1/x)]
=e^[ln(1+x)/x]
而：
ln(1+x)=Σ(n:0→∞) [(-1)^n][x^(n+1)]/(n+1)，其中：|x|<1(条件很重要，必须指出！)
因此：
ln(1+x)/x =Σ(n:0→∞) [(-1)^n][x^(n)]/(n+1)
e^x= Σ(n:0→∞) [x^(n)]/n!
因此：
e^[ln(1+x)/x]
=e^{Σ(n:0→∞) [(-1)^n][x^(n)]/(n+1)}
=e^[1-(x/2)+(x²/3)-(x³/4)+.........]
=e·[e^(-x/2)]·[e^(x²/3)]·[e^(-x³/4)]
=e·[Σ(n:0→∞) [(-x/2)^(n)]/n!]·[Σ(n:0→∞)(x²/3)^(n)]/n!]·[Σ(n:0→∞)(-x³/4)^(n)]/n!]........
下面就是排列组合的事了！
即：
e^[ln(1+x)/x]
=e·[1+(-x/2)+(x²/8)+(-x³/48)+o(x³)][1+(x²/3)+o(x³)][1-(x³/4)+o(x³)]....
∴x³的系数为：e·[(-1/4)+(-1/2)×(1/3)-(1/48)]=-7e/16
因此：x³的系数为：-7e/16

追问

谢谢您的解答，我就是计算不出它的系数，三次方项的。

追答

亲，采纳吧！
打了半天呢！