Question

高一数学：二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1，求f(x)的解析式。

Answer 1

将x=0代入上面关系式，得到f（1）=1
将x=-1代入上面关系式，得到f（-1）=-1
则该二次函数过3个点，即（0，1） （1，1） （-1，-1）
然后列方程组就可以求出来了。

Answer 2

x=0代入f(x+1)-f(x)=2x得f(1)-f(0)=0,∴f(1)=1
x=-1代入f(x+1)-f(x)=2x得f(0)-f(-1)=-2,∴f(-1)=3
设f(x)=ax²+bx+c
f（0）=c=1
f(1)=a+b+c=1，∴a+b=0
f(-1)=a-b+c=3，∴a-b=2
∴a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1

Answer 3

设f(x)=ax^2+bx+c
∵f(0)=1
∴c=1
∵f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2x
∴整理得
a^2+2ax+b=2x
∴2a=2,a=1
a^2+b=0.b=-1
f(x)=x^2-x+1

Answer 4

f(x)=ax^2+bx+1 ( f(0)=c=1 )
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1
f(x+1)-f(x)=2ax+a^2+b=2x
a=1
a^2+b=0
b=-1
f(x)=x^2-x+1

Answer 5

x^2-x+1