Question

求3x+4y的最大值

如果实数x、y满足x²+4x+y²-4y+7=0，则3x+4y的最大值是多少？

请写详细过程，不要有跳过！

Answer 1

解法一:
原方程即(x+2)²+(y-2)²=1²，
圆心(-2，2)，半径R=1.
设3x+4y=t，
则此直线与圆心距离不超过半径，
∴|3·(-2)+4·2-t|/√(3²+4²)≤1，
解得，-3≤t≤7，
即所求最大值为7，最小值为-3。

解法二:
依Cauchy不等式得
1=(x+2)²+(y-2)²
=(3x+6)²/9+(4y-8)²/16
≥[(3x+6)+(4y-8)]²/(9+16)
∴-5≤3x+4y-2≤5，
即-3≤3x+4y≤7.
故所求最大值为7，最小值为-3。

追答

解法三:
设3x+4y=t，代入圆方程得
x²+4x+[(t-3x)/4]²-4[(t-3x)/4]+7=0.
整理得
25x²+(112-6t)x+t²-16t+112=0.
判别式不小于0，则
(112-6t)²-100(t²-16t+112)≥0
整理得，t²-4t-21≤0
解得，-3≤t≤7.
故所求最大值为7，最小值为-3。

解法四:
原约束条件即
(x+2)²+(y-2)²=1.
构造向量
m=(3，4)，n=((x+2)，(y-2)).
则依向量模不等式|m|·|n|≥|m·n|得，
(3²+4²)[(x+2)²+(y-2)²]≥[3·(x+2)+4·(y-2)]²，
即25·1≥(3x+4y-2)²，
-5≤3x+4y-2≤5，
解得，-3≤3x+4y≤7.
故所求最大值7，最小值为-3。

还有很多解法，就不一一列出了。

追问

解法1那里，为什么直线到圆心距离不超过1？

追答

直线与圆心距离大于半径，则直线与圆相离，两者无交点，联立方程没实数解！

Answer 2

如果实数x、y满足x²+4x+y²-4y+7=0，则3x+4y的最大值是多少？
解：配方：(x+2)²+(y-2)²-1=0
即(x+2)²+(y-2)²=1；这是一个圆心在(-2，2)，半径为1的园。
因此可令：x=-2+cosθ；y=2+sinθ；【∵(x+2)²+(y-2)²=cos²θ+sin²θ=1】
∴3x+4y=3(-2+cosθ)+4(2+sinθ)=3cosθ+4sinθ+2
=3[cosθ+(4/3)sinθ]+2=3(cosθ+tanφsinθ)+2
=(3/cosφ)(cosθcosφ+sinθsinφ)+2=5cos(θ+φ)+2≤7；
即3x+4y的最大值=7；其中 tanφ=4/3；cosφ=3/5；φ=arctan(4/3)；

Answer 3

如图

追问

x和y为什么可以这样设，根据什么公式啊？

x和y为什么可以这样设，根据什么公式啊？

追答

参数方程，这么做简便

追问

没学过参数方程，有没有低等一点的方式，例如为什么参考答案可以用点到直线公式来解，是什么理由?

Answer 4

x和y为什么可以这样设，根据什么公式啊？

回答：
第一、(x+2)²+(y-2)²=1 符合 sin²t+cos²t=1 所以 可以设 x+2=cost，y-2=sint 于是得到 x=cost-2，y=sint-2
第二、为何不是 x+2=sint，y-2=cost 回答：因为在半径 r=1 的单位圆中 ∠t的余弦 cost=x/r=x/1=x，sint=y/r=y/1=y，所以 x 对应余弦，y 对应正弦 ——这一点以后会经常用到，请你务必记牢
第三、因为三角函数有取值范围，以正、余弦为例，可以将自变量 x∈R 转变为函数值y=sinx 或 y=cosx 而 y∈[-1，1]，所以这样设，以便更简便、容易求出函数的取值范围或最值（或极值）