已知f'(x)是一次函数,且x²f'(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)
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因为f'(x)是一次函数，故可以设f(x)＝ax²+bx＋c，则f'(x)＝2ax+b，
把f(x)、f'(x)代入x²f'(x)-(2x-1)f(x)=1式中，化简可得
2ax3+b
x²=2ax3+(2b-a)
x²+(2c-b)+(1-c)
从而可知：
b=2b-a
……①
0=2c-b
……②
0=1-c
……③
解得：a=b=2
b=2c=2
c=1
因此，f(x)＝2x²+2x＋1
把f(x)、f'(x)代入x²f'(x)-(2x-1)f(x)=1式中，化简可得
2ax3+b
x²=2ax3+(2b-a)
x²+(2c-b)+(1-c)
从而可知：
b=2b-a
……①
0=2c-b
……②
0=1-c
……③
解得：a=b=2
b=2c=2
c=1
因此，f(x)＝2x²+2x＋1
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