Question

外角平分线定理的证明

Answer 1

三角形的外角平分线定理：三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
例.已知如图.△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点
D，求证：BD︰CD=AB︰AC。
证明：过C作AD的平行线交AB于点E。
∴BD︰CD=AB︰AE，∠1=∠AEC
∠CAD=∠ACE
∵∠1=∠CAD
∴∠AEC=∠ACE
∴AE=AC
∴BD︰CD=AB︰AC
证明2:
ACD面积=0.5xCAxADxsin(Li)=0.5xCDxh
(h为BD边上的高)
a
b
ABD面积=0.5xBDxh=0.5xBAxADxsin(180度-L1)
c
d
axc=ACD面积xABD面积=bxd
(左右两边均约去h,sin,0.5x0.5,AD)
得
CAxBD=CDxBA
变形得
BD︰CD=AB︰AC

Answer 2

角平分线定理
■
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，
如：在△abc中，ad平分∠bac，则bd：dc=ab：ac
证明:
任意△abc，ad为∠bac的角平分线
由正弦定理可知
bd/sin∠bad=ad/sinb
dc/sin∠cad＝ad/sinc
由上式可以得
bd/dc＝sinc/sinb
又因为ab/sinc=ac/sinb
所以sinc/sinb＝ab/ac
所以bd/dc＝ab/ac
外角和内角差不多