Question

求助一道高数题！

设f(x)在[a,b]上可导，在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0求证 存在x0属于(a,b) 使得f''(x0)=f(x0)

Answer 1

因 f'(a)f'(b)>0 不妨假设 f'(a) > 0,f'(b) > 0
因 f(x)在[a,b]上可导
所以 由最值定理可知必存在两个最值 设最大值 f(x1)= M； 最小值 f(x2)= m；
又因 f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0
所以 M>0 , m<0 且x1，x2在[a,b]里面
若不然 假设 M<0,
则, [ f(x)-f(a) ] / (x-a) = f(x) / (x-a)< 0 (因为 x>a) ，所以 f'(a) <= 0,
显然这与前面假设f'(a) > 0矛盾
同理可证 m<0
由高数知识可知最值点的二阶导数值有 f''(x1)<0，f''(x2) >0
现考虑函数 g(x)=f''(x)-f(x)
因g(x1)=f''(x1)-f(x1)=f''(x1)-M<0 ,g(x2)=f''(x2)-f(x2)=f''(x2)-m>0
所以由零点定理可知 存在x0介于x1与x2之间 使得 g(x0)= 0,
即存在x0属于(a,b) 使得f''(x0)=f(x0)

追问

g''(x)连续么？

追答

导函数的介值性好像不要连续吧

Answer 2

( ⊙o⊙ )哇！一楼好强悍

Answer 3

好吧，找我私聊。。