Question

高数题求解！ 设f(x)在[a,b]上连续可导，a>0 。证明：存在ξ,η∈(a,b)，使得f'(ξ)=[(a+b)/2η]f‘(η)

RT

Answer 1

设F(x)=f(x),G(x)=x^2在[a,b]上由柯西中值定理得，存在η属于(a,b)使
[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η
又由拉格朗日中值定理知，存在ξ属于(a,b)使
f(b)-f(a)=(b-a)f'(ξ) 将此式带入上式得
(b-a)f'(ξ)/(b^2-a^2)=f'(η)/2η
即f'(ξ)=[(a+b)/2η]f‘(η)于是得证。

Answer 2

首先要看下由ABCD组成的是不是长方形，若不是长方形而是梯形则不可求。
若是长方形则：由条件可以推出，以AO为半径的圆面积：S圆=100π。
因为圆半径相同，所以AO=AE，可以推出AG=EG=BH=FH=5√2,AGE和BHF组图中，阴影部分为半个圆减去两个三角形的面积构成，所以，阴影的面积=50π-50 你学过吗首先要看下由ABCD组成的是不是长方形，若不是长方形而是梯形则不可求。
若是长方形则：由条件可以推出，以AO为半径的圆面积：S圆=100π。
因为圆半径相同，所以AO=AE，可以推出AG=EG=BH=FH=5√2,AGE和BHF组成的三角面积共为S=50任意常数C=无穷你洗洗睡吧 还有,你
图中，阴影部分为半个圆减去两个三角形的面积构成，所以，阴影的面积=50π-50
所以由定理知成立啊 对吧。

Answer 3

提示：只需证明存在ξ,η∈(a,b)满足原等式的两边分别等于(f(b)-f(a))/(b-a)