Question

设f(x)在[a,b]上可导,a>0,证存在ξ ∈(a,b)使2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(ξ)

用罗尔定理证明

Answer 1

证：f(x)在[a，c]上连续，且在(a，c)内可导f(a)=f(c)由罗尔中值定理得：在(a，c)内至少存在一点η₁，使得f'(η₁)=[f(c)-f(a)]/(c-a)=0同理，在(c，b)内至少存在一点η₂，使得f'(η₂)=[f(b)-f(c)]/(b-c)=0由罗尔中值定理得：在(η₁，η₂)内，至少存在一点ξ，使得f''(ξ)=[f(η₂)-f(η₁)]/(η₂-η₁)=0η₁∈(a，c)，η₂∈(c，b)因此，在(a，b)内，存在ξ使得f''(ξ)=0请采纳，谢谢

追问

我想问我要验证F(a)=F（b)怎么验证
我设F（x）=2ξ[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f'(ξ)

Answer 2

令g(x)=f(sqrt(x))，其中x>0，sqrt(x)是x的平方根。那么g在(a^2,b^2)内可导。对g使用lagrange中值定理，则存在c属于(a^2,b^2)
g'(c)=(
g(b^2)
-
g(a^2)
)
/
(b^2-a^2)。
而f(x)=g(x^2)，所以f'(x)=2xg'(x^2)，g'(c)=f'(sqrt(c))/2sqrt(c)。取ksi=sqrt(c)即可。

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示