Question

在RT三角形ABC中，角C等于90度，AB=5，BC=3，PQ平行于AB，点P在AC上，点Q在BC上

（1）当面积三角形PQC=面积四边形PABQ是，求CP得长 （2）当三角形PQC的周长欲四边形PABQ的周长相等时，求CP得长 （3）在AB上是否存在点M，是三角形PQM为等腰三角形？若存在，求出PQ的长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

M点存在,但取决于点P,Q的位子(也可以说取决于PQ的长度)

演算如下:
AB=5，BC=3，AC=4
所以:三角形ABC为RT三角形,C为直角

按图1
其中PQ=PM,PQ垂直PM,则:三角形PQM为等腰直角三角形

设:PQ=PM=x
因:CE*AB=AC*BC
CE=12/5
因:CD/CE=PQ/AB
((12/5)-x)/(12/5)=x/5
x=60/37
即:当PQ=60/37时,AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形

按图2
PM=QM,PM垂直QM,则:三角形PQM为等腰直角三角形

设:PQ=2x,则FM=x
因:CD/CE=PQ/AB
((12/5)-x)/(12/5)=2x/5
x=60/49
2x=120/49
即:当PQ=120/49时,AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形

除以上两种情况外,满足条件的M不存在

Answer 2

（1）RTΔABC边长BC=3,AB=5,AC=√(5²-3²)=4,所以ΔABC面积=1/2*3*4=6
ΔABC面积=ΔPQC面积+四边形PABQ面积
面积三角形PQC=面积四边形PABQ=1/2*6=3
ΔPQC面积=3=1/2*QC*PC
CQ/CB=CP/CA,∴CQ/3=CP/4,∴CQ=3/4CP
3=1/2*QC*PC
3/4CP²=6
CP²=8
CP=2√2
(2)三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等,AC=4,BC=3,AB=5
PQ+CP+CQ=PQ+PA+QB+AB
∴CP+CQ=PA+QB+5
∵CQ=3/4CP,PA=AC-CP=4-CP,QB=BC-CQ=3-3/4CP
CP+3/4CP=4-CP+3-3/4CP+5
7/2CP=12
CP=24/7
（3） 等等