Question

已知f(x)=-x+log2(1-x/1+x).

(1)求f(1/2011)+f(-1/2011)的值;
(2)当x∈(-a,a](其中a∈(-1,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由.

Answer 1

解，由条件可知函数定义域为（-1,1），f（-x）=x+log2(1+x/1-x).=-f（x）=x-log2(1-x/1+x).=x+log2(1+x/1-x)故函数是奇函数f（x）+f（-x）=0
（1）由上述论述可得f(1/2011)+f(-1/2011）=0
（2）存在最小值，将函数变形令g（x）=-x，易知函数在（-a，a】单调递减；令h（x）=log2(1-x/1+x).=log2（2/(1+x)-1）;易知函数h（x）在（-a，a】也单调递减；故函数f（x）=g（x）+h（x）在（a，a】单调递减。可知函数f（x）在x=a处取得最小值f（a）=-a+log2(1-a/1+a).

Answer 2

解：∵log2（x-1）=2-log2（x+1）∴log2（x-1）= log24x+1
即x-1= 4x+1解得x=± 5（负值舍去）
故答案为： 5