Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对一切实数a.b,恒有（f(a)+f(b)）/(a+b)大于0,证明f(x)在R上是增函数

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对一切实数a.b,恒有（f(a)+f(b)）/(a+b)大于0,证明f(x)在R上是增函数. (a+b不等于0）

Answer 1

已知f(x)是定义在R上的奇函数
设有x2>x1
则f(-x1)=-f(x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)
对一切实数a.b,恒有（f(a)+f(b)）/(a+b)大于0
取x2=a -x1=b
则（f(a)+f(b)）/(a+b)=[f(x2)+f(-x1)]/(x2-x1)>0
因x2-x1>0
所以f(x2)+f(-x1)>0
故f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在R上是增函数

Answer 2

由于对一切实数a.b,恒有（f(a)+f(b)）/(a+b)大于0，因而有（f(a)+f(-b)）/(a-b)>0，因为f(x)是奇函数，所以（f(a)-f(b)）/(a-b)>0,因而只要有a>b,就一定有f(a)-f(b）>0,即f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数

Answer 3

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